Les figures de Lichtenberg : comment la foudre peut tatouer des fractales sur votre peau !

Si vous avez envie d'un tatouage original et que vous jouez à la roulette russe tous les weekends, arpentez donc le gazon d'un terrain de golf, un jour d'orage, en croisant les doigts pour être frappé par la foudre. Vous obtiendrez peut-être le résultat montré sur la photo ci-contre.

Ces traces énigmatiques en embranchements (aussi appelés dendrites) sont des figures de Lichtenberg. Elles apparaissent parfois sur la peau des personnes foudroyées et la marquent durant plusieurs heures à plusieurs jours. Elles résultent de la rupture de capillaires sanguins (de minuscules vaisseaux) due à la diffusion du courant pendant la décharge électrique. Elles sont parfois visibles dans l'herbe ou la terre aussi, autour des points d'impact.

La formation des figures de Lichtenberg

Une figure de Lichtenberg sur un green de golf

Plus généralement, les figures de Lichtenberg sont des motifs créés par des décharges électrostatiques, soit à la surface, soit dans le volume d'un matériau isolant.  Elles sont connues depuis l'antiquité mais c'est Georg Christoph Lichtenberg qui, en 1777, au cours de ses recherches sur ce qu'on appelait à l'époque les "fluides électriques", a réalisé les premières expériences permettant de les reproduire.

Leur formation est très bien décrite par le modèle d'agrégation limitée par diffusion (ALD). Cette théorie, proposée par Witten et Sander en 1981, permet de décrire n'importe quel système où la diffusion est le principal mode de transport. Cette petite vidéo montre les résultats d'une simulation utilisant ce modèle :

Les particules suivent une "marche aléatoire" (aussi appelée "mouvement brownien") : elles se diffusent aléatoirement à partir d'un point de départ, comme le sucre dans un café. Au début, les particules sont toutes concentrées au même endroit. Lorsqu'elles sont libérées, elles forment des agrégats qui se diffusent dans le milieu et se divisent en morceaux plus petits.

Illustration de la diffusion du sucre dans l'eau

Un agrégat de particules change de trajectoire à chaque fois qu'il en rencontre un autre, de sorte que, par chocs successifs, sa trajectoire se trouve cantonnée dans un espace de plus en plus petit.

Le cheminement des particules forme des figures caractéristiques, appelés "arbres browniens" ou figures de Lichtenberg. Dans le cas de la circulation d'un courant, les particules sont des électrons qui, en se diffusant dans le matériau, provoquent des modifications structurelles qui rendent leur parcours visible.

Figure de Lichtenberg sur une golfeuse intrépide

Une sculpture réalisée avec le procédé Captured Lightning®

Aujourd'hui, ces figures sont utilisées dans l'analyse et le diagnostic de dispositifs électriques. Elles permettent de prévenir les pannes ou de repérer les pièces défaillantes. Elles sont également une bonne indication pour les médecins qui peuvent, en cas d'accident, déduire de leurs formes et de leurs tailles l'intensité du courant qui a traversé le joueur de golf imprudent. Enfin, des artistes comme Todd Johnson utilisent le procédé pour créer des figures en trois dimensions, en provoquant une forte décharge en un point d'un bloc d'acrylique ou de verre. Le courant traverse alors le matériau en créant des fractures qui forment une figure de Lichtenberg. Voici une petite vidéo de démonstration :

Standing Wave II, in stereo. Crédits : Todd Johnson, Shockfossils 

En utilisant un voltage moins élevé, on peut aussi produire des figures équivalentes sur du bois :

15,000 Volts from Melanie Hoff on Vimeo.

Figures de Lichtenberg et fractales

Les figures de Lichtenberg sont un bon exemple des célèbres figures fractales. Ces objets mathématiques sont caractérisés par des formes qui se créent en suivant des règles précises impliquant une homothétie interne : leur structure est invariante par changement d’échelle et se répète à l'infini. Si l'on "zoome" sur la figure, sa structure ne change pas, son apparence est la même quelle que soit la distance d'observation. Ainsi, même si l'on découpe un morceau fini (un carré de dix centimètres de côté par exemple), le contour de la figure est infini. Il a fallu développer une nouvelle géométrie pour les décrire ! Il est plus simple de comprendre la structure des fractales avec des exemples visuels. La seconde vidéo ci-dessous illustre parfaitement la propriété d'autoréplication. Sur cette page interactive, vous pouvez zoomer vous-même sur des figures fractales. La première vidéo donne des explications sur les fractales et leur "invention".

On pourrait croire que les fractales ne sont qu'un amusement mathématique sans lien avec la réalité, mais il s'avère que ces figures sont partout : on les trouve dans les frontières ou les côtes maritimes, le relief terrestre, les bronches, les vaisseaux sanguins, les divisions cellulaires, les cristaux de neige, la foudre (vidéo ci-dessous), les racines, la répartition des galaxies dans l'univers ou mêmes dans des phénomènes a priori sans rapport, comme les fluctuations des crues des fleuves ou celles des cours boursiers. Bien sûr, dans tous ces exemples, les fractales ne sont pas infinies. Néanmoins, la géométrie fractale est le meilleur outil pour le calcul de leurs propriétés. En plus, leurs représentations colorées et géométriques sont d'une beauté fascinante !

Lightning captured at 7,207 images per second from ZT Research on Vimeo.

• Pour en savoir plus sur les figures de Lichtenberg : Ce dossier et  cette page (en anglais).

• Pour une sympathique introduction aux fractales, vous pouvez lire cet article. Et si vous aimez les maths, lisez ce cours sur les fractales. On trouvera ici de chouettes exemples de fractales dans des photos satellites.
  

Je termine avec une belle image et une dédicace à ma sœur Claire.

Fractales de glace sur une fenêtre. Crédits : Kevin Roche