Escher et les sciences: l'obsession de l'infini

Il y a quelques temps, j'avais promis de reparler du graveur Escher, en évoquant la réalisation, par un designer allemand, de sa fontaine infinie. Chose promise, chose due, voici donc un petit article sur Maurits Cornelis Escher, artiste réaliste, méticuleux, obsédé par la géométrie et les répétitions infinies.

Une brève histoire d'estampe

Escher naît en 1898 aux Pays-Bas. Son talent est découvert et encouragé très tôt; il s'oriente rapidement vers les arts graphiques, notamment vers la gravure (ce qui explique la dominance des œuvres en noir et blanc). En 1922, ses études terminées, il voyage dans le sud de l'Europe, où il passe son temps à recopier et à dessiner ce qui lui tombe sous les yeux. Son imagination restera marquée par les caractéristiques architecturales des monuments visités: voûtes, escaliers, mosaïques, pavages réguliers etc. Comme beaucoup d'artistes, Escher vit pauvrement. Il quitte l'Italie Mussolinienne pour  se rapprocher de la Hollande et s'installe tardivement en Belgique, en 1937. Cette date marque un tournant dans son travail, qui incorpore désormais des éléments fantaisistes.

Son style est précis, détaillé, il n'y a pratiquement pas de place pour le flou. Ses techniques de travail limitent souvent l'usage de la couleur mais sa maîtrise du dessin, de la perspective, des contrastes et des formes est impressionnante. Escher est un analyste qui décrit des structures, se les approprie et les transforme. Il est fasciné par la géométrique, la symétrie, l'ordre, la perspective et les motifs répétés. Il passe énormément de temps en études préliminaires et en travaux préparatoires. Pour autant, même si les titres de gravures sont d'un prosaïsme rebutant, ses dessins complexes ne sont pas ennuyeux, au contraire; ils sont narratifs et perturbants. Son œuvre n'a pas d'équivalent en Europe mais trouve un écho intéressant dans les constructions géométriques arabes (dont il verra des exemples en Espagne) et indiennes. Ses contemporains préfèrent un art moins cérébral, plus chaotique.

Saint François

Durant sa vie d'artiste, Escher montre un grand intérêt pour certains aspects des sciences. Il est sensible à l'esthétique et à la pureté des modèles mathématiques ou physiques par exemple. Il montre également un grand intérêt pour l'astronomie et la théorie de l'évolution. Les scientifiques sont également nombreux à se servir de ses dessins pour illustrer certaines notions, ils en apprécient la clarté et l'élégance des symétries ; ses œuvres les plus célèbres sont d'ailleurs devenues des images incontournables en cristallographie. Cette réciprocité donnera lieu à des échanges entre l'artiste et certains scientifiques. Escher aime les mathématiques mais son attirance pour cette discipline est avant tout visuelle. Son travail se nourrit de notions précises que l'on retrouve en effet en géométrie, en topologie ou en cristallographie, mais Escher s'attache à une description purement graphique des structures et ne s’embarrasse pas du formalisme mathématique associé. Il est toutefois frappant de voir avec quelle exactitude certains de ces dessins reflètent des concepts scientifiques précis. C'est tout cela que je me propose de vous faire (re)découvrir aujourd'hui. Je ne suis pas historien de l'Art, aussi je m'arrête ici pour la biographie. Pour en savoir plus, vous pouvez consulter le site officiel.

La transformation de la réalité: la projection et la structure

Polyèdres

Escher est fasciné par la perfection de la forme et les figures géométriques "classiques". S'il considère une altération possible, elle est toujours structurée. Un de ses exercices favoris est de travailler sur des déformations géométriques, la réflexion et les symétries. La sphère est son objet de prédilection, il réalise d'ailleurs un autoportrait avec une boule de verre. Il s'amuse à projeter notre vision plane de la réalité sur des boules, des boutons de porte ou des carafes d'eau. Il est très difficile de dessiner correctement un reflet déformé: Escher passe énormément de son temps à tracer des lignes de perspective soigneusement courbées sur lesquelles il superpose son dessin. Il n'a pas de connaissances particulières des expressions mathématiques de ces transformations mais applique des méthodes géométriques extrêmement pointilleuses. Ses lignes sont si régulières qu'elles semblent avoir été tracées avec un logiciel de dessin.

Escher travaille également sur d'autres transformations, parfois purement fantaisistes, comme dans l'exemple ci-dessous, où l'on peut voir le canevas préparatoire utilisé pour déformer le centre de l'image.

Son travail sur la réflexion et la déformation est remarquable. On peut aussi voir, à gauche, un exemple de déformation ondulatoire, qui forme des entrelacs dans la réflexion de la flaque d'eau. Le résultat est quasiment parfait. Il faut pourtant effectuer plusieurs transformations complexes pour y parvenir : projeter dans un premier temps des cercles concentriques sur une surface plane vue en perspective puis appliquer une déformation circulaire à l'image de base. Cette habilité à manipuler les transformations lui vaudra la sympathie des mathématiciens, notamment en théorie des groupes, pour qui les notions de symétrie, d'image et de transformation sont fondamentales.

Sur le dessin de droite, Exposition d'Estampes, Escher a laissé un disque vide au centre. Pourquoi ? Cette "incomplétude" était elle préméditée? Il est vraisemblable que la grille de transformation ait été trop difficile à utiliser sur cette petite partie centrale, même pour Escher. Des chercheurs, aidés par l'artiste néerlandaise Jacqueline Hofstra, ont analysé les transformations complexes de la grille et imaginé la partie manquante. Le résultat, visible en vidéo ci-dessous, est une mise en abîme où le dessin se tord dans un tourbillon infini :

Escher le cristallographe

Les dessins d'Escher se basent aussi sur un autre domaine intéressé par les groupes et les opérations de symétrie : la cristallographie. Dans les années 1920, son frère l'initie à cette discipline de la physique du solide qui étudie les formes cristallisées. Pour comprendre comment Escher s'en inspire, il faut savoir quelques petites choses sur les cristaux.

La spécificité des cristaux (comme le sel, le sucre, le diamant, et de façon générale, tous les minéraux) est de présenter une structure périodique parfaitement ordonnée à l'échelle atomique. Le sel de table par exemple, le chlorure de sodium, est constitué de milliards de "petits cubes" qui ressemblent à ceci (les boules vertes représentent les atomes de chlore et les boules bleues, les atomes de sodium) :

Structure cristalline du sel de table

Une structure tridimensionnelle d'Escher   

La répétition de ce cube, dans toutes les directions de l'espace, constitue un cristal de sel. La structure d'un cristal n'est pas forcément cubique, mais je ne rentre pas trop dans les détails cette fois ci. L'autre notion importante est celle de "motif" ; c'est l'entité de base qui, répétée à chaque point du réseau cristallin (appelé "nœud"), va former le cristal dans son entier. Voici un exemple en deux dimensions :

Escher, séduit par cette simplicité symétrique, s'empare du concept et invente des motifs particulièrement sophistiqués. Dans l'exemple ci-dessous, j'ai tracé les lignes de symétrie. Le losange rouge montre le motif qui est répété (on peut choisir ce que l'on veut comme motif, pourvu que l'on puisse reconstituer l'intégralité du dessin en le répétant).

La description formelle des structures cristallographiques fait aussi intervenir la théorie des groupes. Pour décrire une structure, on donne la forme du réseau cristallin de base -un cube par exemple- et les opérations de symétrie qui laissent le système cristallin invariant, c'est à dire inchangé. Autrement dit, on peut partir d'un motif élémentaire et reconstituer l'ensemble du réseau de base par des opérations de transformation. Cela semble un peu compliqué, alors voici un petit exemple de transformations possibles en 2 dimensions, avec une pomme et une banane comme motif élémentaire et un réseau de base comportant 8 pommes et 8 bananes. En juxtaposant des carrées remplis de la même façon, on forme un cristal en 2 dimensions.

Tout en s’intéressant à la cristallographie, Escher explore un autre domaine des mathématiques lié à la question suivante : pour une forme donnée, quel est le meilleur arrangement sur une surface plane, celui qui permet le moins de pertes ? Dans les dessins d'Escher, les pertes sont nulles, car il peut choisir de déformer les motifs à volonté. Cette question a des applications pratiques, comme lorsque l'on veut découper un maximum de pièces en aluminium sur une plaque la plus petite possible. Voici d'autres exemples de pavage astucieux imaginés par Escher :

Il est intéressant de noter que Roger Penrose, dont nous verrons plus loin qu'il a été une source d’inspiration pour Escher, publiera en 1970 un article sur des pavages non périodiques qui permettent de remplir le plan. Ces pavages n'avaient à l'époque aucune correspondance dans le monde réel. En 1984, ils seront utilisés pour décrire la structure des quasi-cristaux récemment découverts.

L'élégante symétrie

Le principe de symétrie est omniprésent en physique. La chiralité par exemple, est une notion qui concerne la symétrie "miroir".  Si un objet possède une image dans un miroir, avec laquelle il ne se confond pas, on dit qu'il est chiral. Vos mains, par exemple, sont des objets chiraux : la main gauche est bien l'image de la main droite dans un miroir mais il est impossible de les confondre si on les superpose. Une balle de ping-pong par contre, est indiscernable de son image dans miroir : ce n'est pas un objet chiral. La notion de symétrie est aussi reliée à une question fondamentale: pourquoi notre Univers est il constitué de matière, et non d'antimatière ?  Les équations de la physique sont pourtant symétriques : chaque particule possède une antiparticule qui a une charge opposée. Comme les équations sont symétriques par rapport au temps aussi, on peut considérer l'antimatière comme de la matière "normale" qui remonte le temps (il va falloir que j'en parle dans un prochain article). Mais pourquoi l'antimatière semble t-elle avoir disparu de notre Univers ? En 1957,  le prix Nobel de Physique est attribué, entre autres, à Chen Ning Yang, pour son travail sur la non-conservation de la parité de l'interaction faible. Cette théorie de physique quantique décrit la violation d'un type de symétrie lors de certaines réactions entre particules. Il montre ainsi qu'une expérience réalisée avec de la matière n'est pas l'exact reflet dans un miroir de la même expérience réalisée avec de l'antimatière. Pour illustrer ses propos, il utilise la gravure Cavaliers :

Cavaliers

En plaçant un miroir vertical au milieu de l'image, le motif des cavaliers blancs (la matière) devient effectivement celui des cavaliers noirs (l'antimatière) mais il faut rajouter une translation verticale, c'est à dire qu'il faut déplacer le motif obtenu vers le haut ou vers le bas, pour qu'il se superpose à lui même.

Dialogues sur l'infini

Développement

L'éternel recommencement est un thème omniprésent dans les travaux d'Escher. Obsédé par l'idée d'espace (ou de vide) infini, ses pavages cristallographiques du plan sont comme une tentative de définition. Intrigué par les spirales, il peint des figures qui finissent par se confondre en cercles concentriques, comme dans le dessin ci-contre. Mais cette transformation graduelle ne satisfait pas vraiment Escher pour qui la conservation du motif est très importante.

Il revient aux motifs après une correspondance avec le mathématicien canadien H.S.M. Coxeter. Ce dernier lui fait découvrir la géométrie hyperbolique inventée par Poincaré. Il s’intéresse alors aux pavages circulaires limites, avec une série de xylogravures (gravures sur bois) remarquables où le motif est répété indéfiniment et de façon décroissante. Ces figures ressemblent aux projections stéréographiques, également utilisées en cristallographie. Plus tard, frustré par les limitations de la feuille plane, Escher revient à la sphère : il réalise des sculptures à motifs en forme de boule. Ainsi, quelque soit la direction suivie à la surface de la sphère, le motif se répète sans arrêt.

Projection stéréographique du diamant

Escher travaillant sur un motif circulaire infini

Limites circulaires

Ces structures qui se répètent indéfiniment à toutes les échelles sont des figures fractales, un terme qui n'existe pas à l'époque. Le mathématicien Benoit Mandelbrot l'inventera en 1974, soit deux ans après la mort d'Escher. Il ne fait pas de doute que l'artiste aurait été fasciné par ces objets extraordinaires. Mais aurait-il accepté de travailler sur un ordinateur ?

Ces travaux graphiques sont une excellente illustration de certaines notions mathématiques, comme celle de limite par exemple. Le mathématicien D.J.Lewis dira : "De même que les estampes de M.Escher, les plus beaux résultats ont souvent pour conséquence une approximation systématique combinée à quelques sujet ingénieux et approprié". Sa renommée grandit chez les scientifiques et on porte à sa connaissance d'autres objets mathématiques intéressants d'un point de vue topologique, dont le fameux ruban de Möbius : un ruban qui ne comporte qu'une seule face et dont on peut parcourir la totalité de la surface de façon continue. Escher s'en sert pour illustrer une nouvelle fois l'infini : les fourmis parcourent indéfiniment la même face du ruban. Il travaille également sur d'autres objets topologiques apparentés, comme dans Nœuds ou Spirales.

Dans un de ces dessins les plus connus, Reptiles, on retrouve une boucle perpétuelle ainsi que le thème du passage de l'abstrait au vivant (et vice et versa). Escher y montre aussi son intérêt pour la théorie darwinienne en particulier et pour le passage du chaos à l'ordre en général.

Reptiles

Mains

Escher est persuadé que la nature véritable du monde nous échappe. Comme les philosophes grecs ou les scientifiques modernes, il suggère que notre univers n'est qu'un niveau de réalité dans un Univers plus vaste. Il est intéressant de faire le parallèle avec le principe holographique développé dans les théories cosmologiques modernes. Ce principe est une conjecture imaginée dans le cadre de la théorie de la gravité quantique. Elle propose que "toute l'information contenue dans un volume d'espace peut être décrite par une théorie qui se situe sur les bords de cette région". Elle s'appuie sur l'analogie avec le fonctionnement d'un hologramme : contrairement à une image classique, chaque portion d'un hologramme contient toute l'information nécessaire à la reconstruction de l'image en 3 dimensions (je sens que je vais devoir faire un article sur les hologrammes aussi !).

Le principe holographique

Par exemple, si on fabrique un hologramme de la pomme et de la banane sur une plaque et qu'on projette de la lumière dessus, on produit une image tridimensionnelle des fruits (ce qui est le but, évidemment). Si on coupe cette plaque en 4 morceaux, on parviendra au même résultat. En fait, même en prenant une toute petite portion de la plaque, on arrivera à reproduire l'image en 3 dimensions de la pomme et de la banane mais l'image perdra un peu en qualité. Ce principe est un peu difficile à imaginer mais il illustre bien la façon dont la gravité semble se manifester dans des dimensions supplémentaires de l'espace. A ce sujet, vous pouvez lire "L'univers dans une coquille de noix", de Stephen Hawking.

Escher, la force créatrice et le pouvoir de l'illusion

Enroulement

Si Escher ne peut pas décrire notre réalité, il invente la sienne. Il crée un univers fait d'illusions et peuplé de créatures imaginaires. Ses étranges cloportes et ses reptiles géométriques arpentent des escaliers sans haut ni bas, gravissent des escaliers infinis et passent d'une dimension à l'autre sans difficulté.

Un article du mathématicien anglais Roger Penrose sur les objets impossibles et les illusions d'optique (British Journal of Pshychology) fournit à Escher une nouvelle façon de reprendre le thème de l'infini et de truquer la réalité. Il utilisera par exemple l'escalier de Penrose pour créer des scènes surréalistes où les lignes de fuite sont interchangeables :
 
Une version plus mouvementée :

Si Escher est fasciné par l'absolue perfection des concepts mathématiques, il reste persuadé qu'ils n'ont pas d'équivalents dans le monde réel. Ses représentations sont au mieux une illusion, une réflexion déformée. La sensation vertigineuse que l'on éprouve en regardant ses dessins renvoie à notre propre conception de l'infini. On retrouve cette façon de jouer avec les illusions dans quelques dessins célèbres:

Psychologie de la forme et philosophie

La psychologie de la forme (ou Gestalt theorie) expose les lois fondamentales de la perception. A mi-chemin entre biologie et psychologie, elle décrit la manière dont notre cerveau traite automatiquement une image comme un ensemble structuré (et non comme une simple addition ou juxtaposition d'éléments). Peut être un peu ennuyeuse dans son énoncé, elle est au contraire très amusante dans l'observation. En effet, la plupart des illusions d'optique trouvent une "explication" dans la théorie des formes. Notre cerveau a par exemple l'habitude de s'attacher aux contours et à compléter spontanément les formes incomplètes. Qui plus est, en analysant la totalité d'une image, il équilibre les différents éléments, quitte à les transformer un peu, pour fournir une perception claire et rapide. Cette apparente unité opposée à la somme des éléments dénués de sens est érigée en principe philosophique par certains : "le tout est différent de la somme de ses parties". Notre compréhension du monde dépend donc de ces processus qui permettent de le percevoir dans sa  globalité.

Loin de ces considérations théoriques, Escher élabore des dessins qui serviront d'illustrations aux lois de la théorie des formes. Les illusions de perspectives présentées précédemment peuvent être analysées comme suit : elles sont perturbantes car notre cerveau, bien qu'il parvienne à détailler les différents éléments (on peut par exemple suivre le chemin du cours d'eau perpétuel), n'est pas en mesure de produire une perception globale cohérente et intelligible. L'illusion du dessin Cube par exemple, un autre objet impossible, est basée sur le fait que notre cerveau interprète individuellement les différentes parties du cube et cherche à en fabriquer une image homogène. Ce phénomène est illustré ci-dessous, avec à gauche, le cube de Necker et à droite, le cube d'Escher.

 

Si vous regardez le cube de gauche, votre cerveau va automatiquement choisir de considérer la face en bas à gauche comme la face la plus proche de vous, car il préfère "voir" le cube d'en haut. Mais si vous concentrez votre attention sur la face en haut à droite (interprétation 2 ci-dessous), votre cerveau acceptera éventuellement de la considérer comme la face la plus proche, comme si le cube était vu du dessous. Cette distinction est plus facile si on met une des deux faces en évidence (le contour bleu est celui de la face la plus proche) :

Pour apprécier à quel point le cerveau est capable de tricher avec la réalité, on peut lire cet article.

Dans les dessins suivants, Escher joue avec les contours et les frontières. Du point de vue de la Gestalt theorie, ces éléments forcent le cerveau à créer une distinction artificielle au niveau des formes, en s'appuyant sur le contraste entre figures noires et blanches.

On remarquera que Prédestination est un des rares dessins à ne pas avoir un titre strictement descriptif ! Escher réalise également la série suivante :

Escher aurait il fait un bon scientifique ? Il me semble que sa curiosité et la façon dont il a méticuleusement exploré les possibilités de ses découvertes successives appellent une réponse positive. J'espère vous avoir donné envie de découvrir son travail plus en détail ! Si vous visitez les Pays-Bas, faites un détour par La Haye (Den Haag) et visitez le Escher Museum plutôt que le TPI.

Pour illustrer cet article, je me suis restreint à un petit nombre de dessins, mais Escher a produit d'autres pièces remarquables. A titre personnel, le dessin que je préfère est celui-ci:

Neige

La structure, pour une fois, est masquée par le brouillard et la neige, comme une pause tranquille dans la recherche obsessionnelle de la perfection structurelle.

Les dessins les plus célèbres d'Escher ont été maintes fois repris ou parodiés. Cela me fournit l'occasion de conclure, en images toujours, avec quelques références des Simpson, et un gif animé :

Pour en voir ou en savoir plus :

• Sur Escher et ses œuvres: le livre "Le monde de M.C.Escher", J. L Locher la page "officielle", ainsi que celle du musée des beaux arts canadien.
• Sur d'autres parallèles intéressants, le livre "Gödel, Escher, Bach, Les brins d'une guirlande éternelle" de Douglas Hofstadter.
• Sur le remplissage du tableau "Exposition d'estampes", ce site.
• Sur les commentaires du mathématicien Coxeter au sujet des travaux d'Escher, cette vidéo.
• Sur Escher et les maths, cet article (en anglais).
• Sur l'escalier de Penrose, la page wiki.
• Sur les pavages de Penrose, pareil.
• Sur les transformations géométriques dans les dessins d'Escher, cette page.
• Sur le problème des pavages d'Escher, cette page.
• Sur les parodies artistiques des Simpson, ce site.
• Sur les illusions d'optique, ce site.

Si vous aimez les maths, je vous conseille ce blog formidable. 

Et si vous aimez le lien entre les sciences et l'art, je vous invite à consulter ces articles!

Allez, un dernier pour la route: